英语和汉语都有所谓的两个动词吗?

不是这样的。

在英语中,任何句子都只能有一个动词。

Want是动词,play也是动词,但want在play之前是表意的,所以在play之前加to,用不定式把play game变成状语。

另外,应该是他想玩游戏。主谓搭配要一致。