与两种排列组合相关的问题(英语)

假设一个均匀的骰子被掷出七次，产生一系列七个数字。

(a)用文字描述通用序列集。

用语言描述这个序列的完整集合。

通用序列集由七位数组成，其中每个数字都在1和6之间，包括1和6。

此序列是一个7位数，由1和6之间的数字组成。

(b)有多少个序列的每个条目都是3或5？

有多少序列至少有一个3或一个5？

总序列号:6 7

既不是3也不是5的序列号:4 7。

所以至少有一个序号是3或者5: 6 7-4 7 = 263552。

(c)如果A是不含1的序列子集，用文字描述集合Ac。

如果A是这个序列的子集，则表示不包含1的所有序列，A的补码Ac用语言描述。

Ac是包含至少一个1的序列子集。

Ac是这个序列的子集，这意味着它至少包含一个1的序列。

(d)找出集合a中元素的个数。

计算集合a中元素的个数。

A中每个数字只能是2，3，4，5，6，所以A中的元素个数:5 ^ 7 = 78125。

(e)集合Ac中有多少个元素？

计算集合Ac的元素个数。

类似于(b)中的思路，Ac的元素个数是6 ^ 7-5 ^ 7 = 201811。

2.B I的字母有多少种排列方式

有多少种方法排列字母P R O B A B I L I T Y？

(a)没有任何其他限制？

没有任何约束？

11字母总排列:11！

注意有两个B和两个I，所以是在“11！”这样的安排会发生两个！*2!这些组重复排列。

所以没有任何约束的排列数是:11！/ (2!* 2!) = 9979200

(b)使得O和A彼此相邻出现？

o和a一起出现？

这里O和A算作一个字母，类似于(A)。10字母的排列数是:10！/ (2!* 2!)

注意，这里只要求O和A一起出现，所以可以是OA，也可以是AO，需要在上述数的基础上乘以2。

所以O和A相连的排列数是:10！/ (2!* 2!) * 2 = 1814400

(c)使得A出现在两个b之间？

a出现在两个B之间？

理解这个问题有两种方式:

(1) BAB连续出现。

如果你这么理解，把BAB算作一个字母，类似于(a)。九个字母的个数是:9！/ 2!= 181440

(2)只要A在两个B之间，也就是说BPROAIBLITY也算。

如果这样理解，相对复杂，需要考虑a的位置。

假设A在第二位，那么B一定在1的位置，后面是剩余9个字母的排列，考虑到2个I的重复，总排列数为:9！/ 2!

假设A在第五位，A左边的四个字母只能有一个B，其余的要从“P R O I L I T Y”的八个字母中选择，可能的组合是C (8，3)；这四个字母的排列数是4！a右边六个字母的个数是6！考虑到两个I的重复，排列总数为:C(8，3) * 4！* 6!/ 2!

以此类推，A可能出现在第2到10，所以排列总数写成一个和:

σ(I = 1到9) {C(8，i-1) * i！* (10-i)！/ 2!} = 3326400

我个人更倾向于第二种理解方式。

希望对你有帮助。