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八年级(第二册)

第一章一维线性不等式和一维线性不等式组

一、不平等关系

1.一般将符号“”(或“≥”)相连的公式称为不等式。

٬ 2.区分等式和不等式:等式代表一种相等关系；不平等代表不平等的关系。

3.准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语。※ 。

非负数

非正数

二、不等式的基本性质

1.掌握不等式的基本性质，灵活运用。※:

不等式(1)两边加(或减)相同的代数表达式，不等式的方向不变，即:

如果a & gtb，那么a+c & gt；b+c，a-c & gt；b-c。

(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等式的方向不变，即，

如果a & gtb和c & gt0，那么ac & gt公元前，。

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等式的方向改变，即:

如果a & gtb，且c < 0，则AC

2.比较大小:(A和B分别代表两个实数或代数表达式)。※

一般来说:

如果a & gtb，那么a-b是正数；反之，若a-b为正数，则a >；b；

如果a=b，那么a-b等于0；反之，若a-b等于0，则a = b；

如果a

即:

a & gtb & lt= = = & gta-b & gt；0

a = b & lt= = = & gta-b=0

a & ltb & lt= = = & gta-b & lt；0

可见，要比较两个实数的大小，只要看它们的区别就可以了。

3.不等式的解集；

1.能使不等式成立的未知量的值叫做不等式的解。※一个不等式的所有解构成这个不等式的解集；求不等式解集的过程叫解不等式。

2.不等式的解可以有无数种，一般是一定范围内的所有数，不同于方程的解。※ 。

3.数轴上不等式解集的表示；

当用数轴来表示不等式的解集时，我们应该确定边界和方向:

①边界:带等号的实心圆和不带等号的空心圆；

②方向:右边大，左边小。

4.一维线性不等式；

1.只含一个未知数的公式是代数表达式，未知数的次数是1。像这样的不等式叫做一维线性不等式。※ 。

2.解一元线性不等式的过程和解一元线性方程的过程类似，特别是当不等式两边都乘以一个负数时，不等式的符号会改变方向。※ 。

3.求解一元线性不等式的步骤。※:

①命名；

(2)支架拆除；

③移位项目；

(4)合并相似项目；

⑤系数改为1(变不等式问题)

4.一维线性不等式的基本情况是ax & gt※B(或斧头

①当a >时；0，解决方法是；

②当a=0时，b

当a=0，b≥0时，无解；

③当a

٬ 5.不等式应用探索(利用不等式解决实际问题)

用列不等式解决应用题的基本步骤与用列方程解决应用题的基本步骤相似，即:

(1)审题:认真审题，找出题中的不对等关系，抓住题中的关键词，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”；

(2)设定:设定适当的未知数；

③列:根据问题中的不等式关系列出不等式；

④解法:求解所列不等式的解集；

答案:写出答案，检查答案是否符合问题的意思。

动词 （verb的缩写）一维线性不等式和线性函数

不及物动词一维线性不等式系统

1.定义:由几个未知数相同的线性不等式组成的不等式组称为线性不等式组。※ 。

2.一维线性不等式组中每个不等式的解集的公共* *部分称为不等式组的解集。如果这些不等式的解集没有公共* * *部分，就说这个不等式组无解。※ 。

几个不等式解集的公共部分通常由数轴决定。

3.解线性不等式组的步骤。※:

(1)求不等式组中每个不等式的解集；

(2)用数轴求这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

两个线性不等式的解集的四种情况(A和B是实数，A

一维线性不等式解集的图形叙事语言表达

x & gt两者中较大的一个被采用。

x & gt取两者中最小的一个。

a & ltx & ltb尺寸交叉中间搜索

尺寸分离没有解决方案。

(是空集)

第二章因子分解

一.因式分解

1.将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积，称为分解这个多项式。※ 。

2.因式分解和代数表达式乘法是互逆的。※ 。

因式分解与代数表达式乘法的区别和联系:

(1)代数表达式乘法是将几个代数表达式相乘，变成多项式；

(2)因式分解是将一个多项式乘以几个因子。

二。提高公众的析因法。

1.如果多项式的每一项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，这样多项式就可以转化为两个因子的乘积。这种因式分解的方法叫做提取公因子法。※ 。

比如:

2.※概念内涵:

(1)因式分解的最终结果应该是“积”；

(2)公因子可以是单项式或多项式；

(3)公因子法的理论基础是乘法对加法的分配定律，即:

3.※易错点点评:

(1)注意幂指数项的符号是否有误；

(2)公因子公式是否“干净”；

(3)多项式中的一项只是一个公因子。提出后，括号里的这个项是+1，不漏。

三。运用公式法

1.如果乘法公式反过来，可以用来因式分解某些多项式。这种因式分解法叫做公式法。※ 。

2.※主要配方:

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式:

٬ 3.易错点点评:

因式分解要分解到底。如果不分解到底。

4.使用公式法。※:

(1)平方差公式:

(1)应将二项式或多项式视为二项式；

(2)二项式(无符号)的每一项都是单项式(或多项式)的平方；

③二项式是不同的符号。

(2)完全平方公式:

(1)应该是三项式；

(2)其中两个数相同，且各为一个代数表达式的平方；

③还有一项可以正可以负，是前两项的基积的两倍。

5.因式分解的思考和求解步骤。※:

(1)首先检查每一项是否有公因子，如果有，先提取公因子；

(2)看是否能用公式法；

(3)利用分组分解法，即提取分组后各组的公因子或利用公式法达到分解的目的；

(4)因式分解的最终结果必须是几个代数表达式的乘积，否则不是因式分解；

(5)因式分解的结果必须进行到每一次因式分解都不能再在有理数的范围内分解为止。

4.分组分解方法:

1.分组分解法:将因素分组分解的方法称为分组分解法。※ 。

比如:

2.※概念内涵:

分组分解法的关键是如何分组，分组后是否有公因子要提取以及能否继续分解，分组后能否继续用公式法分解因子。

3.注意:分组时注意符号的变化。※ 。

动词 （verb的缩写）交叉乘法:

1.对于二次三项式，a和c分解为两个因子的乘积，，，和满足，常写。※ 。

比如:

2.二次三项式分解。※:

3.※法律的内涵:

(1)理解:对一个因子进行因式分解时，若常数项Q为正，则将其分解为两个符号相同的因子，它们的符号与第一项的系数p的符号相同。

(2)若常数项q为负，则分解为两个不同符号的因子，其中绝对值较大的因子与第一项的系数p符号相同。对于分解后的两个因子，取决于它们的和是否等于第一项的系数p。

4.※易错点点评:

(1)交叉乘法在分解系数时容易出错；

(2)分解的结果与原公式不同，所以通常用多项式乘法来检验分解是否正确。

第三章分数

一.分数

1.当两个整数不能被整除时，就会出现一个分数。※同样，当两个代数表达式不能整除时，出现一个分数。

代数表达式A除以代数表达式B可以表示为。如果除法B包含字母，则称为分数。对于任何分数，分母都不能为零。

2.代数表达式和分数统称为有理表达式，即:

3.在化简和计算分数时，往往需要对分数进行化简和除法运算，这主要是基于分数的基本性质。※:

分数的分子和分母都乘以(或除以)不等于零的同一个代数表达式，分数的值保持不变。

4.当一个分数的分子和分母有公因数时，我们可以利用分数的基本性质，将分数的分子和分母同时除以它们的公因数，也就是说，我们可以省略分子和分母的公因数，这就是所谓的归约。※ 。

2.分数的乘法和除法

1.分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。※分数除以分数，除数的分子和分母反过来再乘以除数。

也就是说，

2.分数幂，分子和分母分别是幂。※ 。

即:

反向应用，当n为整数时，仍然成立。

3.分子和分母之间没有公因数的分数叫做最简分数。※ 。

3.分数的加法和减法

1.分数和分数类似，也可以分分数。根据分数的基本性质，将几个分母不同的分数转化为分母相同且与原分数相等的分数，称为分数的一般分数。※ 。

2.分数的加法和减法。※:

分数的加减和分数的加减一样，分为分母相同的分数的加减和分母不同的分数的加减。

(1)加减分母相同的分数，加减分母相同的分子；

上述规则由以下公式表示:

(2)不同符号分母的分数加减，先除以分母相同的分数，再加减；

上述规则由以下公式表示:

3.※概念内涵:

一般除法的关键是确定最简单的分母，其方法如下:取最简单公分母的系数作为各分母系数的最小公倍数；最简单公分母的字母是每个分母所有字母的最高次幂的乘积。如果分母是多项式，则先对多项式进行因式分解。

四。分数方程

1.求解分数阶方程的一般步骤。※:

①将方程两边最简单的公分母相乘，去掉分母，变成积分方程；

②求解整个方程；

③将整个方程的根代入最简单公分母，看结果是否为零，这样公分母最简单的根就是原方程的根，必须舍弃。

2.用列分式方程解应用题的一般步骤。※:

(1)考查问题的含义；

②设置未知数；

③根据题意找出等式关系，列出(分数)方程；

④解方程，验根；

⑤写答案。

第四章类似数字

1.线段的比率

1.如果用同一个长度单位来度量两条线段AB，CD的长度分别为m和n，那么这两条线段的比值AB，CD = m: n就可以说，或者写。※ 。

2.在A、B、C、D四条线段中，如果A与B的比值等于C与D的比值，即，那么这四条线段简称A、B、C、D为比例线段。※ 。

3.※注意:

①a:b=k，表示A是B的k倍；

(2)因为线段A和B的长度都是正数，所以k是正数；

③比值与所选线段的长度单位无关，求解时两条线段的长度单位要一致；

④除a=b外，a:b≠b:a，且互为倒数；

⑤比例的基本性质:如果是，那么ad = bc如果ad=bc，那么

2.黄金分割

1.如图1，C点将线段AB分为AC和BC两条线，如果这样，那么称线段AB被C点黄金分割，C点称为线段AB的黄金分割点，AC与AB之比称为黄金分割比。※ 。

2.黄金分割是最美丽最赏心悦目的点。※ 。

四。相似多边形

䀻 1.一般形状相同的图形称为相似图形。

2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形称为相似多边形。相似多边形对应边的比值称为相似比。※ 。

动词 （verb的缩写）相似三角形

1.在相似多边形中，相似三角形是最简单的一种。※ 。

2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似三角形中对应边的比值称为相似比。※ 。

3.全等三角形是相似三角形的特例，当相似比等于1时。注意:就像两个全等的三角形，代表对应顶点的字母要写在对应的位置。※ 。

4.相似三角形对应高比，中心线对应的比和角平分线对应的比都等于相似比。※ 。

5.相似三角形的周长之比等于相似比。※ 。

6.相似三角形面积之比等于相似比的平方。※ 。

6.探索三角形相似的条件

1.相似三角形的判断方法。※:

普通三角形直角三角形

基本定理:平行于三角形一边并与其他两边(或两边的延长线)相交的直线，与原三角形相似。

(1)两个角相等；

(2)两边成比例，夹角相等；

③三边成比例。①一个锐角相等；

(2)双方是成比例的:

A.两个直角边成比例；

B.斜边与直角成正比。

2.平行线分线段的比例定理:三条平行线切两条直线，对应的线段成比例。※ 。

如图2，l1 // l2 // l3，则。

3.平行于三角形一边的直线与另外两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。※ 。

八。相似多边形的属性

相似多边形的周长等于相似比。※面积比等于相似比的平方。

九。图形的放大和缩小

1.如果两个图不仅是相似图，而且每组对应点的直线都经过同一点，那么这样的两个图称为势图。※这个点叫做势心；此时，相似比也称为相似比。

2.任意一对对应点到势图中心的距离之比等于势比。※ 。

◎3.潜在转变:

①变换后的图形不仅与原图相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应点与此交点的距离成正比。这种特殊的相似变换叫做势变换，这个交点叫做势中心。

(2)一个图形经过势变换得到另一个图形，这两个图形称为势形。

(3)运用类比的方法，可以放大或缩小图形。

第五章数据收集和处理

一、每周做家务的时间

1.要考察的整个对象称为整体。※:

把构成整个人口的每一个调查对象都称为个体；

从总体中抽取的一部分个体称为该总体的样本。

2.为某一特定目的而对所有学科进行的综合调查称为普查。※:

出于特定目的对某些对象进行的调查称为抽样调查。

二。数据收集

1.抽样调查的特点是:调查范围小，节省时间和人力物力。但不如普查得到的调查结果准确，得到的只是估计值。※ 。

估计值是否接近实际情况，取决于样本是否具有代表性。

第六章证明(1)

二。定义和命题

1.一般来说，能够明确指出概念的含义或特征的句子，称为定义。※ 。

定义必须严格。一般情况下，应避免使用“一些”、“可能”和“几乎”等模糊术语。

2.一个可以判断对错的句子叫做命题。※ 。

正确的命题叫做真命题，假命题叫做伪命题。

3.数学中某些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，它们作为判断其他命题真值的原始依据。这样的真命题叫做公理。※ 。

4.有些命题可以由公理或其他真命题通过逻辑推理判断为正确，并可以进一步作为判断其他命题真值的依据。这样的真命题叫做定理。※ 。

5.根据题目、定义、公理、定理等。，逻辑判断一个命题是否正确。这个推理过程叫做证明。

三。为什么是平行的？

1.平行判断公理:同角相等，两条直线平行。※

2.平行判断定理:同侧内部互补，两条直线平行。※ 。

3.平行判断定理:同一角度相等，两条直线平行。※ 。

4.如果两条直线平行。

1.两条线平行的公理:两条线平行，角度相同；※:

2.两条直线平行的性质定理:两条直线平行，内角相等。※:

3.两条直线平行定理:两条直线平行，同侧内角互补。※ 。

动词 （verb的缩写）三角形和定理的证明

1.三角形内角和定理:三角形的三个内角之和等于180。※

2.三角形最多有一个直角。

3.三角形至多有一个钝角。

4.三角形至少有两个锐角。

6.注意三角形的外角

1.关于三角形内角和定理的两个推论。※:

推论1:三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和；

推论2:三角形的一个外角大于任何不与之相邻的内角。

或者这个

(一)使用公式法:

我们知道代数式乘法和因式分解是彼此的逆变形。如果乘法公式反过来，多项式就分解成因子。所以有:

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

如果乘法公式反过来，可以用来因式分解某些多项式。这种因式分解的方法叫做公式法。

(2)方差公式

1.方差公式

方程式(1): a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)语言:两个数的平方差等于这两个数之和与这两个数之差的乘积。这个公式就是平方差公式。

(3)因式分解

1.在因式分解中，如果有公因子，先提公因子，再进一步分解。

2.必须进行因式分解，直到每个多项式因子都不能再分解为止。

(4)完全平方公式

(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，可以得到:

a2+2ab+b2 =(a+b)2

a2-2ab+b2 =(a-b)2

也就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数乘积的两倍，等于这两个数的和(或差)的平方。

公式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2称为完全平坦模式。

以上两个公式称为完全平方公式。

(2)完全扁平化模式的形式和特点

①项目数:三个项目

②两项是两个数的平方和，这两项的符号相同。

一项是这两个数乘积的两倍。

(3)当多项式中有公因子时，应先提出公因子，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的A和B可以表示单项式或多项式。这里只要把多项式看成一个整体。

(5)因式分解必须分解到每个多项式因子都不能再分解为止。

(5)分组分解法

我们来看多项式am+ an+ bm+ bn。这四项没有公因子，不能用提取公因子的方法，再不能用公式法分解因子。

如果我们把它分成(am+ an)和(bm+ bn)两组，这两组可以通过分别提取公因子来分解因子。

原公式=(am +an)+(bm+ bn)

=a(m+ n)+b(m +n)

做这一步不叫因式分解多项式，因为不符合因式分解的含义。但不难看出，这两项还有一个公因数(m+n)，所以可以继续分解，所以

原公式=(am +an)+(bm+ bn)

=a(m+ n)+b(m+ n)

=(m +n)？(a +b)。

这种通过分组来分解因素的方法称为分组分解。从上面的例子可以看出，如果对一个多项式的各项进行分组，并且在提取公因子后它们的其他因子完全相同，那么这个多项式就可以通过分组分解来进行分解。

(6)公因子法

1.用提取公因式的方法分解一个多项式时，先观察多项式的结构特征，确定多项式的公因式。当每个多项式的公因式为多项式时，可以通过设置辅助元素将其转化为单项式，也可以将多项式因子视为一个整体直接提取。当多项式项的公因子是隐式的时，多项式应适当变形或改变符号，直到多项式的公因子可以确定为止。

2.用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解，要注意:

1.常数项必须分解成两个因子的乘积，这两个因子的代数和等于。

线性项的系数。

2.许多人试图将常数项分解成满足要求的两个因子的乘积，一般步骤是:

(1)列出常数项分解为两个因子的乘积的所有可能情况；

②试试哪两个因子之和正好等于一阶系数。

3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式。

(7)分数的乘法和除法

1.用一个分数的分子除以分母的公因数称为该分数的除数。

2.分数约简的目的是将这个分数约简为最简单的分数。

3.如果分数的分子或分母是多项式，可以先考虑分解成因子得到因子积的形式，然后再把分子和分母的公因数降下来。如果分子或分母中的多项式不能分解因子，那么我们就不能分离分子和分母中的某些项。

4.注意分数约化中幂的符号规律的正确使用，如x-y =-(y-x)，(x-y) 2 = (y-x) 2，

(x-y)3=-(y-x)3。

5.一个分数的分子或分母有符号的n次方，可以根据分数的符号规律，换成整个分数的符号，然后作为-1的正偶次幂和负奇次幂处理。当然，简单分数的分子和分母可以直接相乘。

6.注意括号，然后是幂，然后是乘除，最后是加减法。

㈧分数的加减

1.虽然一般分数和归约都是针对分数的，但却是两个相反的变体。缩减是针对一个分数，而一般分数是针对多个分数。约分数是简化分数，通分数是简化分数，从而统一分数的分母。

2.一般分数和近似分数都是根据分数的基本性质进行变形的，它们的相似之处是保持分数的值不变。

3.一般分母写成不展开的连积形式，分子相乘写成多项式，为进一步运算做准备。

4.总分基础:分数的基本性质。

5.一般除法的关键:确定几个分数的公分母。

通常将每个分母的所有因子的最高次幂的乘积作为公分母，称为最简公分母。

6.以此类推，获得该分数的总分数:

把几个分母不同的分数换成分母相同等于原分数的分数，称为分数的一般分数。

7.同分母分数的加减规则是:同分母分数加减，同分母分子加减。

分母相同的分数的加减，分母不变，分子的加减，即将分数的运算转化为代数表达式的运算。

8.不同分母的分数加减定律:不同分母的分数加减，先除以同分母的分数，再加减。

9.分母相同的分数加减，分母不变。加减分子即可，但要注意每个分子都是一个整体，适时放上括号。

10.对于代数式和分数之间的加减法，代数式被视为一个整体，即视为一个分母为1的分数，从而进行除法。

11.对于分母不同的分数的加减法，首先观察每个公式是否是最简单的分数。如果能化简分数，可以先化简分数再除法，这样会简化运算。

12.作为最终结果，如果是分数，应该是最简单的分数。

(9)带字母系数的一维线性方程

1.带字母系数的一维线性方程

例:一个数的A倍(a≠0)等于B，求这个数。这个数用x表示，根据题意可以得到方程ax=b(a≠0)。

在这个方程中，X是未知数，A和B是字母中的已知数。对于x，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程是一个带字母系数的一维线性方程。

字母系数方程的解法与数值系数方程的解法相同，但要特别注意:用一个带字母的公式将方程两边相乘或相除，这个公式的值不能等于零。