数学专家进来了。
实数可分为有理数和无理数。
无理数和有理数的区别:
1.当有理数和无理数都写成小数时，有理数可以写成有限小数和无限循环小数。
例如，4 = 4.0，4/5 = 0.8，1/3 = 0.33333...而无理数只能写成无限无循环小数。
比如√2 = 1.414213562..............................................................................................................................
2.所有有理数都可以写成两个整数的比值；而无理数不行。据此，有人建议给无理数贴上“不合理”的标签，有理数改名为“比较数”，无理数改名为“非比较数”。毕竟无理数不是没有道理，只是一开始人们对它了解不多。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明:假设√2不是无理数，而是有理数。
由于√2是有理数，所以必须写成两个整数之比:
√2=p/q
由于P和Q没有可约的公因数，p/q可以认为是一个约分数，即最简单的分数形式。
平方√2 = P/q的两侧。
得到2 = (p 2)/(q 2)
也就是2 (q 2) = p 2。
因为2q^2是偶数，所以p一定是偶数。设p=2m。
从2 (q 2) = 4 (m 2)
Q 2 = 2m 2。
同理，q一定是偶数，设q=2n。
由于P和Q都是偶数，所以它们一定有一个公因数2，这与之前p/q是一个约分数的假设相矛盾。这个矛盾是因为√2是有理数的假设造成的。所以√2是一个无理数。
产地:
毕达哥拉斯(约公元前885年至公元前400年)从小就很聪明。有一次他背着柴火走在街上，一个长辈看他捆柴火的方法和别人不一样，就说:“这孩子是数学天才，将来会成为秀才的。”听了这话，他丢下柴火，横渡地中海，到特列斯门求学。毕达哥拉斯非常聪明。在泰勒的指导下，许多数学问题被他解决了。其中，他证明了三角形内角之和等于180度；可以算出来，如果要用瓷砖铺地，只有正三角形、正四边形、正六边形三种正多边形的砖，才能刚好铺地。还证明了世界上只有五种正多面体，即正4，6，8，12和二十面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四边形数、完全数、友谊数，直到毕达哥拉斯数。但他最大的成就是发现了后来以他的名字命名的勾股定理(毕达哥拉斯定理)，即直角三角形的两条直角边的正方形的面积之和等于斜边的正方形的面积。据说毕达哥拉斯看到工匠们在神庙里用方砖铺地板，经常要计算面积，就发明了这种方法。
毕达哥拉斯熟练运用数学知识后，觉得不能仅仅满足于解决问题，于是试图从数学领域扩展到哲学领域，从数的角度解释世界。经过一番苦练，他提出了“万物皆数”的观点。数的元素是万物的元素，世界是由数组成的。世界上的一切都不能用数字来表达，数字本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯也在自己周围建立了青年兄弟会。在他死后大约200年，他的门徒发展了这个理论，并形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
一天，学校的成员们刚刚结束一场学术研讨会，正乘游轮出来欣赏风景，以此来驱散一天的疲劳。这一天，是个晴天，海风轻轻吹来，掀起层层波浪。每个人都非常高兴。一位大胡子学者望着浩瀚的大海激动地说:“毕达哥拉斯先生的理论一点也不差。“你看波浪层层叠叠，有峰有谷，就像奇数和偶数一样。世界是数字的秩序。”“对，对。”这时一个正在划船的大个子走了进来，说道:“我们来谈谈这条船和大海吧。用船测量海水肯定会得到一个准确的数字。一切都可以用数字来表示。”
“我不这么认为。”这时，船尾的一位学者突然问了一个问题。他平静地说:“如果最后不是整数呢？”
“那是小数。”“小数不能整除循环怎么办？”
“不可能，世界上的一切都可以用数字直接准确的表达出来。”
这时，秀才用一种不想再争论的语气平静地说:“不是世界上的一切都可以用我们现在知道的数字来表达的。以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形为例。如果是等腰直角三角形，你就无法用一条直角边精确地测出斜边。”
提出这个问题的学者叫希帕索斯，是毕达哥拉斯学派中一位聪明、勤奋、独立的数学家。如果不是因为今天的争论，我不会想表达我的新观点。一听这话，划水的大个子停下来喊道:“不会吧，先生的理论哪里都适用。”希帕索斯眨着灵动的眼睛，伸出双手，把两个逃跑比作一个等腰直角三角形。
"如果直边是3，斜边是多少？"
"4。"
“更准确？”
"4.2。"
“更准确？”
"4.24。"
“更准确？”
大个子满脸通红，一时答不上来。希帕索斯说:“你不能在未来数出10位数或20位数，这是最准确的。我计算过很多次，任何等腰直角三角形的一边和另一边都不能用一个准确的数字来表示。”这犹如晴天霹雳，全船立刻爆发出一片怒吼:“你竟敢违背毕达哥拉斯先生的理论，破坏我们学校的信条！“敢于相信数字就是世界！”希帕索斯这时非常平静。他说，“这是一个新发现。甚至毕达哥拉斯先生在世时也会奖赏我。你可以随时核实。”但人们不听他的解释，愤怒地喊道:“谋反！先生的无良弟子。”“杀了他！批死他！”大胡子冲上去，一拳打在他的胸口。希帕索斯抗议道:“你无视科学，你太不讲理了！”“卫道士的信条永远是正当的。"这时，大个子也冲了过来，一下子把他拎了起来:"给你一个最高奖赏！”他说着，把希帕索斯扔进了海里。蓝色的大海很快淹没了他的身体，再也没有出来。这时天上飘着几朵白云，海边有几只水鸟经过。一场风暴过后，地中海的海边似乎又恢复了宁静。
一个非常有才华的数学家就这样被奴隶专制的学者毁掉了。但确实让人看到了希帕索斯的思想价值。经过这件事，毕达哥拉斯学派成员才真正发现，不仅等腰直角三角形的直角边不能测斜边，圆的直径也不能测周长。那个号码是3.141592653589726...而且永远不会准确。慢慢地，他们感到后悔，后悔杀死希帕索斯的不合理行动。他们逐渐明白，直觉不是绝对可靠的，有些事情必须用科学来证明；他们明白，在过去，除了数字“0”和自然数等有理数之外，还有一些无限的非循环小数。这确实是一个新发现的数——应该叫“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实记录了毕达哥拉斯学派的傲慢。
无理数引发的数学危机一直持续到19世纪。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，通过有理数的“除”来定义无理数，将实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理数”的时代和持续了两千多年的数学史上的第一次大危机。
有理数(有理数):
无限循环小数和有无穷根的数称为无理数。
整数和分数统称为有理数。
数学上，有理数是两个整数的比值，通常写成a/b，其中b不为零。分数是有理数的常用表达，而整数是分母为1的分数，也是有理数。
包括整数和分数，也可以表示为有限小数或无限循环小数。
这个定义适用于十进制和其他十进制(如二进制)的数字。无限循环小数和有无穷根的数称为无理数。
整数和分数统称为有理数。
数学上，有理数是两个整数的比值，通常写成a/b，其中b不为零。分数是有理数的常用表达，而整数是分母为1的分数，也是有理数。
数学上，有理数是整数a和非零整数b之比，通常写成a/b，所以也叫分数。希腊语叫λ ο γ ο？原意是“有理数”，但中文翻译不妥，逐渐变成了“合理数”。不是有理数的实数叫做无理数。
所有有理数的集合表示为q，有理数的小数部分是有限的或循环的。
参考数据
比如3，-98.11，5.272，7/22都是有理数。
有理数还可以分为正有理数、负有理数和0。
所有有理数形成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，而现代一些数学书用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关内容见数系展开。
一组有理数是一个域，即可以在其中进行四种运算(除了0是除数)，对于这些运算，以下运算法则成立(A，B，C等。都代表任意有理数):
①加法的交换律A+B = b+ A；
②加法A+(B+C) = (A+B)+C的结合律；
(3)有一个数0，使0+a = a+0 = a；
(4)对于任意有理数A，有一个加法逆元，记为-a，使A+(-A)=(-A)+A = 0；
⑤乘法的交换律AB = BA
⑥乘法结合律A(BC)=(AB)C；
⑦分布规律A(B+C)= A b+ AC；
⑧乘法有一个单位元1≠0，使得对于任意有理数A，1A = A 1 = A；
⑨对于不为0的有理数A，有一个乘法逆元1/a，所以A(1/A)=(1/A)A = 1。
⑩0a=0
另外，有理数是一个有序域，即存在一个序关系≤
有理数也是一个阿基米德场，即有理数A和B，a≥0，B >；0，我们可以找到一个自然数n，使得nb >；答.不难推断不存在最大有理数。
有理数这个名字值得一提。“有理数”这个名字令人费解，有理数并不比其他数更“合理”。其实这似乎是翻译上的一个错误。有理数一词来源于西方，在英语中是有理数，rational通常是“理性”的意思。中国近代翻译西方科学著作，按照日本的翻译方法翻译成“有理数”。不过这个词来源于古希腊，它的英文词根是ratio，意思是比率(这里的词根是英文，希腊语的意思是一样的)。所以这个词的意思也很明确，就是整数的“比”。相比之下，“无理数”是一个不能精确表示为两个整数之比的数，但也不是没有道理。
有理数加减混合运算
1.有理数的加减统一为加法的意义:
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则，将减法转化为加法，从而将混合运算统一为加法运算。统一的公式是几个正数或者负数的和，我们把这个公式叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤:
(1)利用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
(2)利用加法定律、加法交换律、加法组合律进行简单运算。
有理数范围内的绝对值和倒数的概念，在实数范围内的意义是一样的。